Álgebra
elemental es la forma más básica del álgebra. A diferencia de la aritmética, en donde sólo se usan los números y sus operaciones aritméticas (como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son
representados por símbolos (usualmente a, b, c, x, y, z). Esto es útil porque:
§ Permite la formulación general de
leyes de aritmética (como a + b = b + a), y esto es el primer paso para una
exploración sistemática de las propiedades de los números reales.
Si bien la palabra álgebra viene del vocablo árabe (al-Ŷabr, الجبر), sus orígenes se remontan a los
antiguos babilonios, que habían desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una forma algebraica. Con el uso
de este sistema fueron capaces de aplicar las fórmulas y soluciones para
calcular valores desconocidos. Este tipo de problemas suelen resolverse hoy
mediante ecuaciones lineales,ecuaciones de segundo grado y ecuaciones indefinidas. Por el
contrario, la mayoría de los egipcios de esta época, y la mayoría de la India, griegosy
matemáticos chinos en el primer milenio antes de Cristo,
normalmente resolvían tales ecuaciones por métodos geométricos, tales como los descritos en la
matemática Rhind Papyrus, Sulba Sutras, Elementos de Euclides, y los Nueve Capítulos sobre el Arte de las Matemáticas. El trabajo geométrico de los
griegos, centrado en las formas, dio el marco para la generalización de las
fórmulas más allá de la solución de los problemas particulares de carácter más
general, sino en los sistemas de exponer y resolver ecuaciones.
Las mentes griegas matemáticas de Alejandría y Diofanto siguieron las tradiciones de Egipto
y Babilonia, pero el libro Arithmetica de Diophantus está en un nivel mucho
más alto. Más tarde, los matemáticos árabes y musulmanes desarrollaron métodos
algebraicos a un grado mucho mayor de sofisticación. Aunque los babilonios y
Diophantus utilizaron sobre todo los métodos especiales ad hoc para resolver
ecuaciones, Al-Khowarizmi fue el primero en resolver ecuaciones usando métodos
generales. Él resolvió el indeterminado de ecuaciones lineales, ecuaciones
cuadráticas, ecuaciones indeterminadas de segundo orden y ecuaciones con
múltiples variables.
La palabra "álgebra" es el
nombre de la palabra árabe "Al-Jabr, الجبر" en el título del libro
al-Kitab al-muḫtaṣar fi al-Gabr ḥisāb wa-l-muqābala, الكتاب المختصر في حساب
الجبر والمقابلة, el sentido del Resumen del libro se refiere a la transposición
y Cálculo de la Reducción de un libro escrito por el matemático persa islámico, Muhammad ibn Musa Al-Khwārizmī (considerado el "padre del
álgebra"), en 820. La palabra Al-Jabr significa "reducción". El
matemático helenístico Diophantus ha sido tradicionalmente conocido como el
"padre del álgebra", pero en tiempos más recientes, hay mucho debate
sobre si al-Khwarizmi, que fundó la disciplina de Al-Jabr, título que se merece
su lugar. Los que apoyan a Diophantus apuntan al hecho de que el álgebra que se
encuentra en Al-Jabr es algo más elemental que el que se encuentra en el
álgebra Arithmetica y que Arithmetica es sincopada mientras que Al-Jabr es
totalmente retórica. Los que apoyan el punto de Al-Khwarizmi se basan sobre el
hecho de que presenta los métodos de "reducción" y
"equilibrio" (la transposición de términos restará al otro lado de
una ecuación, es decir, la cancelación de términos a ambos lados de la
ecuación), al cual el término Al-Jabr se refería originalmente, y que dio una
explicación exhaustiva de la solución de ecuaciones cuadráticas, apoyada por
las pruebas geométricas, mientras que el tratamiento de álgebra como una
disciplina independiente en su propio derecho. Su álgebra ya tampoco trataría
"con una serie de los problemas por resolver", sino con una
"exposición que empieza con lo primitivo en el que las combinaciones deben
dar todos los posibles prototipos de ecuaciones, que en adelante explícitamente
constituyen el verdadero objeto de estudio". También estudió una ecuación
para su propio bien y "de forma genérica, en la medida que no sólo surgen
en el curso de la solución de un problema, sino que específicamente en la
llamada para definir una infinidad de problemas de clase".
El matemático persa Omar Khayyam desarrolló la geometría algebraica y
encontró la solución geométrica de la ecuación cúbica. Otro matemático persa,
Sharaf Al-Din al-Tusi, encontró la solución numérica y algebraica a diversos
casos de ecuaciones cúbicas; también desarrolló el concepto de función. Los matemáticos indios Mahavirá y Bhaskara II, el matemático persa Al-Karaji, y el matemático chino Zhu Shijie, resolvieron varios casos de
ecuaciones de grado tres, cuatro y cinco, así como ecuaciones polinómicas de
orden superior mediante métodos numéricos.
Otro acontecimiento clave en el
desarrollo del álgebra fue la solución algebraica de las ecuaciones cúbicas y
cuárticas, desarrollado a mediados del siglo XVI. La idea de un factor
determinante fue desarrollada por el matemático japonés Kowa Seki en el siglo XVII, seguido por Gottfried Leibniz diez años más tarde, con el fin de
resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas utilizando matrices. Gabriel Cramer también hizo un trabajo sobre
matrices y determinantes en el siglo XVIII. El álgebra abstracta se desarrolló en el siglo XIX,
inicialmente centrada en lo que hoy se conoce como teoría de Galois y en temas de la constructibilidad.
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