sábado, 3 de noviembre de 2012

LEYES DE LOS SIGNOS

PRODUCTOS NOTABLES


Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saberfactorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.
 A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)2
Nota:
Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su comprensión.

Ver: PSU; Matemática

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 – 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)2

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados)

(a + b) (a – b) = a2 – b2

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda
Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como a2 – b2

Ver: PSU: Matematica,

Otros casos de productos notable (o especiales):


Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)
Demostración:
Veamos un ejemplo explicativo:
Tenemos la expresión algebraica
x2 + 9 x + 14
obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )
¿Cómo llegamos a la expresión?
a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x2
b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es (2 7)x 9x
c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14

Así, tenemos:

x2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 + (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x + b)

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 + (a – b)x – ab = (x + a) (x – b)
Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 + (a – b)x – ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x – b).

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 – (a + b)x + ab = (x – a) (x – b)
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 – (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x – a) (x – b).
Producto de dos binomios con un término común, de la forma

mnx2 + ab + (mb + na)x = (mx + a) (nx + b)

En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx y nx).

Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma mnx2 + ab + (mb + na)xdebemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (mx + a) (nx + b).

Cubo de una suma
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)3.

Cubo de una diferencia
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 – 3a2b + 3ab2 – b3debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)3.
A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresión algebraica que lo representa:

Producto notable
Expresión algebraica
Nombre
(a + b)2
=
a2 + 2ab + b2
Binomio al cuadrado
(a + b)3
=
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Binomio al cubo
a2 - b2
=
(a + b) (a - b)
Diferencia de cuadrados
a3 - b3
=
(a - b) (a2 + b2 + ab)
Diferencia de cubos
a3 + b3
=
(a + b) (a2 + b2 - ab)
Suma de cubos
a4 - b4

DIVISION DE POLINOMIOS


División entre fracciones
En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios y las reglas de división de fracciones de la aritmética.
  • Se aplica ley de signos
  • Se multiplica el dividendo del primer termino por el divisor del segundo para crear el dividendo de la division, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el divisor de la division (esto se llama división cruzada)
  • Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor
  • Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.
Ejemplos:
División de polinomios entre monomios.
Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.
Pasos:
  • Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.
  • Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por el monomio.
  • Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el capitulo anterior.
  • Se realizan las sumas y restas necesarias.

Ejemplos:
División entre polinomios.
En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a seguir son los siguientes.
  • Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los términos que faltan.
  • El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo entre el primer miembro del divisor.
  • Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
  • El segundo termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del divisor.
  • Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.
  • Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer termino no pueda ser dividido por el primer termino del divisor.
Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.
La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el termino que se encuentra mas a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.
Ejemplos:

MULTIPLICACION DE POLINOMIOS


Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 · (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 − 3    Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) ·  Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

multiplicación de polinomios
Efectuar de dos modos distintos la multiplicación de los polinomios:
P(x) = 3x4 + 5x3 − 2x + 3 y Q(x) = 2x2 − x + 3
P(x) · Q(x) = (3x4 + 5x3 − 2x + 3) · (2x2 − x + 3) =
= 6x6 − 3x5 + 9x4 + 10x5 − 5x4 + 15x3 −
− 4x3 + 2x2 − 6x + 6x2 − 3x + 9 =
6x6 + 7x5 + 4x4 + 11x3 + 8x2 − 9x + 9

multiplicación de polinomios

LEYES DE LOS EXPONENTES


Los exponentes también se llaman potencias o índices
10 a la potencia 2
El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número.
En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64
  • En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"

Todo lo que necesitas saber...

Todas las "Leyes de los Exponentes" (o también "reglas de los exponentes") vienen de tres ideas:
El exponente de un número dice multiplica el número por sí mismo tantas veces
  
Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir
  
Un exponente fraccionario como 1/n quiere decir hacer la raíz n-ésima:

Si entiendes esto, ¡entonces entiendes todos los exponentes!
Y todas las reglas que siguen se basan en esas ideas.

Leyes de los exponentes

Aquí están las leyes (las explicaciones están después):
LeyEjemplo
x1 = x61 = 6
x0 = 170 = 1
x-1 = 1/x4-1 = 1/4
xmxn = xm+nx2x3 = x2+3 = x5
xm/xn = xm-nx4/x2 = x4-2 = x2
(xm)n = xmn(x2)3 = x2×3 = x6
(xy)n = xnyn(xy)3 = x3y3
(x/y)n = xn/yn(x/y)2 = x2 / y2
x-n = 1/xnx-3 = 1/x3

Explicaciones de las leyes

Las tres primeras leyes (x1 = xx0 = 1 y x-1 = 1/x) son sólo parte de la sucesión natural de exponentes. Mira este ejemplo:
Ejemplo: potencias de 5
 ... etc... 
521 × 5 × 525
511 × 55
5011
5-11 ÷ 50.2
5-21 ÷ 5 ÷ 50.04
 ... etc... 
verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente crece (o disminuye).

La ley que dice que xmxn = xm+n

En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, después otras "n" veces, en total "m+n" veces.

Ejemplo: x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5

Así que x2x3 = x(2+3) = x5

La ley que dice que xm/xn = xm-n

Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces.

Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2

(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.)
Esta ley también te muestra por qué x0=1 :

Ejemplo: x2/x2 = x2-2 = x0 =1

La ley que dice que (xm)n = xmn

Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces.

Ejemplo: (x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12

Así que (x3)4 = x3×4 = x12

La ley que dice que (xy)n = xnyn

Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este ejemplo:

Ejemplo: (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3

La ley que dice que (x/y)n = xn/yn

Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s

Ejemplo: (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3

La ley que dice que 

Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):

Ejemplo: 

Y eso es todo

Si te cuesta recordar todas las leyes, acuérdate de esto: 
siempre puedes calcular todo si entiendes las tres ideas de la parte de arriba de esta página.

Ah, una cosa más... ¿Qué pasa si x= 0?

Exponente positivo (n>0)0n = 0
Exponente negativo (n<0)¡No definido! (Porque dividimos entre 0)
Exponente = 0Ummm ... ¡lee más abajo!

El extraño caso de 00

Hay dos argumentos diferentes sobre el valor correcto. 00 podría ser 1, o quizás 0, así que alguna gente dice que es "indeterminado":
x0 = 1, así que ...00 = 1
0n = 0, así que ...00 = 0
Cuando dudes...00 = "indeterminado"

MULTIPLICACION DE POLINOMIOS


MULTIPLICACION DE POLINOMIOS



Un polinomio es algo así como esto:
ejemplo de polinomio
ejemplo de polinomio
este tiene 3 términos
Para multiplicar dos polinomios:
  • multiplica cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio
  • suma las respuestas, y simplifica si hace falta
Puedes multiplicarlos en cualquier orden siempre que cada uno de los dos primeros términos se multiplique por cada uno de los dos segundos términos.
Aquí tienes una manera de acordarte de todas las multiplicaciones. "PIES" significa "Primeros, Interiores,Exteriores, Segundos":
PIES
  • Primeros: ac
  • Interiores: bc
  • Exteriores: ad
  • Segundos: bd




En la multiplicación de expresiones algebraicas se pueden distinguir tres casos:
  •  Multiplicación de un monomio por un monomio
  • Multiplicación de un polinomios por un monomio
  • Multiplicación de un polinomio por otro polinomio
Multiplicación de un:
Procedimiento:
Ejemplo:



Monomio por un monomio
Determinar el signo del producto.
 Multiplica los coeficientes numéricos.
 Multiplica las partes literales utilizando las leyes de los exponentes correspondientes

 


Monomio por un polinomio



Se utiliza la propiedad distributiva de la multiplicación; es decir se multiplica cada término del polinomio por el monomio.


  




Polinomio por un polinomio

Cada término del primer polinomio se debe multiplicar por cada uno de los términos del segundo polinomio y después se deben agrupar los términos semejantes, ya que son los que se pueden sumar o restar.